DM de maths
Publié : 28 oct. 2011, 15:46
J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée :
On considère la suite un d'entiers naturels définie par : u0=14 un+1=5un-6 pour tout entier naturel n
1. Calculer u1, u2, u3 et u4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u(n+2) est congrus à un(mod4). En déduire que pour tout entier k, u(2k) est congrus à 2(mod4) et u(2k+1) est congrus à 0(mod4).
3.a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2un=5^(n+2)+3
b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2un est congrus à 28(mod100).
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.
Voilà ce que j'ai trouvé :
1.
u1=64
u2=314
u3=1564
u4=7814
Il semble que quand n est pair, les deux derniers chiffres sont 1 et 4 et que quand n est impair, les deux derniers chiffres sont 6 et 4.
2.
u(n+2)=5u(n+1)-6
u(n+2)=5(5un -6)-6
u(n+2)=25un-36
u(n+2)=4(6un -9)+un
donc u(n+2) est congrus à un(mod4)
u(2k) est congrus à u0(mod4)
u(2k) est congrus à 14
u(2k) est congrus à 3*4+2(mod4)
u(2k) est congrus à 2(mod4)
u(2k+1) est congrus à u1(mod4)
u(2k+1) est congrus à 64
u(2k+1) est congrus à 4*16(mod4)
u(2k+1) est congrus à 0(mod4)
3.a.
(Pn) 2un=5^(n+2)+3
.Étape 1 : 2(u0)=28 5^2+3=28
Donc 2(u0)=5^2+3 La propriété est vraie au rang 0.
.Étape 2 : Supposons que la propriété soit vraie au rang k
c'est à dire
[align=center]2uk=5^(k+2)+3[/align]
d'où
[align=center]10uk=5^(k+3)+15[/align]
alors
[align=center]10uk-12=5^(k+3)+3[/align]
or
[align=center]10uk-12=2u(k+1)[/align]
donc
2u(k+1)=5^(k+3)+3
Finalement la propriété est encore vraie au rang k+1
on a donc 2un=5^(n+2)+3
3.b.
4.
Je bloque pour ces deux questions. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît.
Merci!
On considère la suite un d'entiers naturels définie par : u0=14 un+1=5un-6 pour tout entier naturel n
1. Calculer u1, u2, u3 et u4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u(n+2) est congrus à un(mod4). En déduire que pour tout entier k, u(2k) est congrus à 2(mod4) et u(2k+1) est congrus à 0(mod4).
3.a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2un=5^(n+2)+3
b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2un est congrus à 28(mod100).
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.
Voilà ce que j'ai trouvé :
1.
u1=64
u2=314
u3=1564
u4=7814
Il semble que quand n est pair, les deux derniers chiffres sont 1 et 4 et que quand n est impair, les deux derniers chiffres sont 6 et 4.
2.
u(n+2)=5u(n+1)-6
u(n+2)=5(5un -6)-6
u(n+2)=25un-36
u(n+2)=4(6un -9)+un
donc u(n+2) est congrus à un(mod4)
u(2k) est congrus à u0(mod4)
u(2k) est congrus à 14
u(2k) est congrus à 3*4+2(mod4)
u(2k) est congrus à 2(mod4)
u(2k+1) est congrus à u1(mod4)
u(2k+1) est congrus à 64
u(2k+1) est congrus à 4*16(mod4)
u(2k+1) est congrus à 0(mod4)
3.a.
(Pn) 2un=5^(n+2)+3
.Étape 1 : 2(u0)=28 5^2+3=28
Donc 2(u0)=5^2+3 La propriété est vraie au rang 0.
.Étape 2 : Supposons que la propriété soit vraie au rang k
c'est à dire
[align=center]2uk=5^(k+2)+3[/align]
d'où
[align=center]10uk=5^(k+3)+15[/align]
alors
[align=center]10uk-12=5^(k+3)+3[/align]
or
[align=center]10uk-12=2u(k+1)[/align]
donc
2u(k+1)=5^(k+3)+3
Finalement la propriété est encore vraie au rang k+1
on a donc 2un=5^(n+2)+3
3.b.
4.
Je bloque pour ces deux questions. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît.
Merci!
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