Une étude réalisée par des biologistes prend en compte les taux de natalité et de mortalité d'une population animale.Schématiquement,l'année est divisée en deux saisons : une saison de reproduction et une saison "froide".
Au début de la première saison de reproduction,la population est constituée d'adultes en nombre a1.
A la fin de la saison de reproduction,la population est constituée d'adultes et de jeunes;dans le modèle élaboré par les biologistes,le nombre d'adultes est A1=0,8a1 et le nombre de jeunes J1=2a1. Pendant la saison froide,40% des jeunes survivent et deviennent des adultes,50% des adultes survivent à cette période.
1) La population au début de l'année suivante est constituée d'adultes en nombre a2.
Exprimer a2 en fonction de A1 et J1 puis en fonction de a1.
2) Le cycle annuel recommence avec les même taux de survie.On note an,An,Jn les effectifs de la ne année tels qu'ils ont été définis.
a)Exprimer An et Jn en fonction de an.
b)Exprimer an+1 en fonction de An et Jn.
3) Démontrer que la suite (an)n1 est géométrique.
4) Quelle est la nature des suites (An)n1 et (Jn)n1 ?
5) On pose pour n1,t=A+J.
a)Que représente t pour cette population ?
b)La suite (tn)n1 est-elle géométrique?
6) Étudier la convergence de la suite (an)n1.
Quelle est l'évolution prévisible de cette population ?
Merci d'avance!
