DM de maths

[botan]

J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée :

On considère la suite un d'entiers naturels définie par : u0=14 un+1=5un-6 pour tout entier naturel n

1. Calculer u1, u2, u3 et u4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un?

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u(n+2) est congrus à un(mod4). En déduire que pour tout entier k, u(2k) est congrus à 2(mod4) et u(2k+1) est congrus à 0(mod4).

3.a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2un=5^(n+2)+3
b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2un est congrus à 28(mod100).

4. Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n.

Voilà ce que j'ai trouvé :

1.
u1=64
u2=314
u3=1564
u4=7814

Il semble que quand n est pair, les deux derniers chiffres sont 1 et 4 et que quand n est impair, les deux derniers chiffres sont 6 et 4.

2.
u(n+2)=5u(n+1)-6
u(n+2)=5(5un -6)-6
u(n+2)=25un-36
u(n+2)=4(6un -9)+un

donc u(n+2) est congrus à un(mod4)

u(2k) est congrus à u0(mod4)
u(2k) est congrus à 14
u(2k) est congrus à 3*4+2(mod4)
u(2k) est congrus à 2(mod4)

u(2k+1) est congrus à u1(mod4)
u(2k+1) est congrus à 64
u(2k+1) est congrus à 4*16(mod4)
u(2k+1) est congrus à 0(mod4)

3.a.
(Pn) 2un=5^(n+2)+3

.Étape 1 : 2(u0)=28 5^2+3=28
Donc 2(u0)=5^2+3 La propriété est vraie au rang 0.

.Étape 2 : Supposons que la propriété soit vraie au rang k
c'est à dire
[align=center]2uk=5^(k+2)+3[/align]
d'où
[align=center]10uk=5^(k+3)+15[/align]
alors
[align=center]10uk-12=5^(k+3)+3[/align]
or
[align=center]10uk-12=2u(k+1)[/align]
donc
2u(k+1)=5^(k+3)+3

Finalement la propriété est encore vraie au rang k+1

on a donc 2un=5^(n+2)+3

3.b.

4.

Je bloque pour ces deux questions. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît.

Merci!

[Konagami]

Jje pense avoir été le seul maths spé du forum, et malheureusement, du haut de feu ma moyenne à 1 chiffre en maths, je ne peux pas t'aider. (C'est bien de la spé terminale, hein?)

Moi, quand je bloquais, je tapais mot pour mot la question sur internet, et en général je trouvais mes solutions ici. (mais les DM ne comptaient pas dans la moyenne )
http://www.ilemaths.net/forum_choix.php

Je ne pense pas que demander de l'aide sur le forum taraddict pour ça soit une bonne idée ^^'

[botan]

Oui c'est de la spé. J'ai été voir sur ile maths mais j'ai pas trouvé.

Merci quand même